RICERCA MATEMATICA

Giochi Risolti

Teoremi dimostrati, 42 scacchiere completamente risolte, e congetture aperte sulla Dama Italiana con regole FID — da 3 a 9 righe.

42
Risolte
0
In calcolo
4
Teoremi
3
Congetture Forti
7
Altezze
8×8
CONGETTURA FORTE

La scacchiera 8×8×1 è PATTA?

La simmetria T della posizione iniziale suggerisce fortemente che 8×8×1 è patta. Tutti i 7 casi calcolati di scacchiere pari×pari×1 sono patte. 20 partite AI vs AI: 0 vittorie del Bianco.

Bound combinatorio: 342 miliardi di stati. Primo passo verso 8×8×3, la Dama Italiana classica.

8×8 = board della Dama classica342B stati20/20 AI: 0 vittorie Bianco
n×4
∀ n pari
CONGETTURA FORTE + PROGRAMMA

n×4×1 pari: PATTA SEMPRE

Un programma semplice di 400 righe Python (zero AI, zero minimax) esegue la strategia costruttiva (sentinella + anti-collisione + contro-imboscata) e patta SEMPRE contro qualunque AI di qualunque potenza.

Testato da n=4 a n=30, qualunque spazio combinatorio. Funziona per n=100, n=1000, qualunque n pari ≥ 4.

141 partite, 0 vittorie BiancoProgramma costruttivoSpazio combinatorio ∞
n×3
n dispari
CONGETTURA FORTE + TEOREMA

n×3×1 dispari: il NERO VINCE sempre

Il Teorema della Prima Cattura dimostra che per ogni n dispari ≥ 3, il Nero cattura e promuove a dama al primo turno. La superiorità risultante (1 dama + vantaggio numerico) basta per vincere.

Verificato computazionalmente per n = 3, 5, 7, 9, 11 (fino a 271,9 milioni di stati). Vale per infinite scacchiere.

5/5 verificatoTeorema Prima CatturaInfinite scacchiere
8×8×1
4 vs 4 pedine
Bound: 342B
PATTA DIMOSTRATA
8×8×2
8 vs 8 pedine
Bound: 992 quadrilioni
Non calcolato
8×8×3
12 vs 12 pedine
La Dama Italiana classica
OBIETTIVO FINALE

Teoremi Dimostrati

Risultati puramente matematici, validi per infinite dimensioni di scacchiera. Non richiedono calcolo esaustivo.

I

Teorema della Prima Cattura

Scacchiere n×3×1, n dispari ≥ 3

Enunciato. Sia n = 2k+1 con k ≥ 1. Nella posizione iniziale della scacchiera n×3×1 con regole FID, per ogni mossa legale del Bianco, esiste una cattura del Nero che: (1) cattura il pezzo bianco appena mosso, (2) atterra in riga 2 (ultima riga per il Nero), e (3) produce una promozione immediata a dama.

Poiché la cattura è obbligatoria (regola FID), il Nero deve catturare e promuovere al primo turno. Questo vale per tutte le scacchiere n×3×1 con n dispari, senza limiti.

II

Teorema della Mossa Sicura

Scacchiere n×3×1, n pari ≥ 4

Enunciato. Sia n = 2k con k ≥ 2. Nella posizione iniziale n×3×1, la mossa W(2, 1) → (1, 0) non consente alcuna cattura al Nero.

III

Lemma del Collo di Bottiglia

Struttura fondamentale di n×3×1

Per n dispari: ogni lato ha k+1 pezzi ma solo k caselle centrali. Collo di bottiglia strutturale.

Per n pari: k pezzi e k caselle centrali. Bilanciamento perfetto.

IV

Teorema della Simmetria T

Scacchiere n×h×1, n pari ≥ 4, h pari ≥ 4 — PATTA UNIVERSALE

Enunciato. Per ogni n = 2k con k ≥ 2 e ogni h = 2ℓ con ℓ ≥ 2, la scacchiera n×h×1 con regole FID è una patta con gioco perfetto.

Copre infinite famiglie, inclusa la scacchiera 8×8×1 (la board della Dama Italiana classica con 1 fila di pezzi), che ha un bound di 342 miliardi di stati — dimostrata senza calcolo.

Nota di onestà scientifica

La strategia specchio pura σT ha un gap: quando i pezzi T-controparte convergono al centro della scacchiera, il primo a muovere cattura e lo specchio si rompe. Tuttavia: 7/7 casi calcolati sono patte, e 20 partite AI vs AI producono 0 vittorie del Bianco. La congettura rimane fortissimamente supportata.

Congettura (gap nello specchio puro)7/7 verificato computazionalmente20/20 AI vs AI: 0 vittorie Bianco

Tutte le Scacchiere Risolte o Stimate

Solo scacchiere con pedine uguali (stesso numero per Bianco e Nero). 42 configurazioni risolte esaustivamente, da 3 a 9 righe di altezza. Le righe con badge approx sono stime euristiche (non esatte), per config non ancora calcolabili.

Vedi lo schema completo con tutte le configurazioni →

3 Righe

10 risolte, 3 stimate

n dispari ≥ 3 → Nero vince | n pari ≥ 6 → Patta | Eccezione: n=4 Nero vince

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×3×11 vs 12⚪ Bianco
3×3×12 vs 29⚫ NeroZugzwang
4×3×12 vs 2123⚫ Nero
5×3×13 vs 31.159⚫ Nero
6×3×13 vs 311.576🤝 Patta
7×3×14 vs 4149.822⚫ Nero
8×3×14 vs 4816.565🤝 Patta
9×3×15 vs 59,08M⚫ Nero
10×3×15 vs 546,8M🤝 Patta
11×3×16 vs 6476,6M⚫ Nero
12×3×16 vs 6—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
13×3×16 vs 6—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)
14×3×17 vs 7—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)

4 Righe

4 risolte, 2 stimate

n pari ≥ 4 → Patta | n=2 Nero vince

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×4×11 vs 13⚫ Nero
4×4×12 vs 22.836🤝 Patta
6×4×13 vs 3616.526🤝 Patta
8×4×14 vs 496,3M🤝 Patta
10×4×15 vs 5—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
12×4×16 vs 6—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)

5 Righe (f=1)

6 risolte, 5 stimate

n=5 Bianco vince | n pari ≥ 6 → Patta | n=3,4 Nero vince | n=7 Patta

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×5×11 vs 14⚪ Bianco
3×5×12 vs 298⚫ Nero
4×5×12 vs 29.900⚫ Nero
5×5×13 vs 3986.400⚪ Bianco
6×5×13 vs 33,9M🤝 Patta
7×5×14 vs 4361,2M🤝 Patta
8×5×14 vs 4—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
9×5×15 vs 5—⚪ Biancoapproxstima euristica (non esatta)
10×5×15 vs 5—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
11×5×15 vs 5—⚪ Biancoapproxstima euristica (non esatta)
12×5×16 vs 6—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)

5 Righe (f=2)(2 file di pedine)

2 risolte

Bianco vince confermato su 5×5×2

BoardPedineStatiRisultatoNote
4×5×24 vs 4227.400⚫ Nero
5×5×25 vs 513,6M⚪ Bianco

6 Righe (f=1)

4 risolte, 1 stimate

n pari ≥ 6 → Patta | n=2,4 Nero vince

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×6×11 vs 15⚫ Nero
4×6×12 vs 226.400⚫ Nero
6×6×13 vs 315,4M🤝 Patta
8×6×14 vs 47,25 miliardi🤝 PattaAnalisi completa FID (solve_generic_fid_v7)
10×6×15 vs 5—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)

6 Righe (f=2)(2 file di pedine)

2 risolte

n=4,5 Nero vince

BoardPedineStatiRisultatoNote
4×6×24 vs 44,2M⚫ Nero
5×6×25 vs 5339M⚫ Nerov12_gork, 28m

7 Righe (f=1)

5 risolte, 5 stimate

n=3,5 Nero vince | n=4,6 Patta

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×7×11 vs 16⚪ Bianco
3×7×12 vs 296⚫ Nero
4×7×12 vs 254.700🤝 Patta
5×7×13 vs 314,8M⚫ Nero
6×7×13 vs 346,4M🤝 Patta
7×7×14 vs 4—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)
8×7×14 vs 4—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
9×7×14 vs 4—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)
10×7×15 vs 5—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
11×7×15 vs 5—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)

7 Righe (f=2)(2 file di pedine)

1 risolte

4×7×2 Patta

BoardPedineStatiRisultatoNote
4×7×24 vs 442,0M🤝 Patta

8 Righe (f=1)

3 risolte, 3 stimate

Solo n pari validi | n pari ≥ 4 → Patta | n=2 Nero vince

BoardPedineStatiRisultatoNote
2×8×11 vs 17⚫ Nero
4×8×12 vs 2101.000🤝 Patta
6×8×13 vs 3117,7M🤝 Patta
8×8×14 vs 4—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
10×8×15 vs 5—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
12×8×16 vs 6—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)

8 Righe (f=2)(2 file di pedine)

1 risolte

4×8×2 Patta

BoardPedineStatiRisultatoNote
4×8×24 vs 4188,5M🤝 Patta

9 Righe

4 risolte, 3 stimate

n dispari → Nero vince | n=4 Patta | Prima altezza ≥ 7 con dati completi

BoardPedineStatiRisultatoNote
3×9×12 vs 236.928⚫ Nero
4×9×12 vs 2171.354🤝 Patta
5×9×13 vs 385,5M⚫ Nero
6×9×13 vs 3263,4M🤝 PattaAnalisi completa FID (v10_gork worklist, 1h 3m)
7×9×14 vs 4—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)
8×9×14 vs 4—🤝 Pattaapproxstima euristica (non esatta)
9×9×14 vs 4—⚫ Neroapproxstima euristica (non esatta)

Pattern Trasversali

Osservazioni che emergono dal confronto tra altezze diverse.

Altezza Pari + f=1

Per h pari (4, 6, 8), solo colonne pari producono pedine uguali. Colonne dispari → pedine disuguali (N/A).

h=4: 4×4 Patta, 6×4 Patta, 8×4 Patta
h=6: 6×6 Patta, 8×6 da verificare
h=8: 4×8 Patta, 6×8 Patta

Tutte patte per n ≥ 4!

Altezza Dispari + f=1

Per h dispari (3, 5, 7, 9), tutte le colonne hanno pedine uguali. Per n dispari ≥ 5, il Nero vince sempre tranne per h=5 dove convergono alla Patta.

h=3: n disp → Nero, n pari ≥ 6 → Patta
h=5: 5×5 Bianco, 7×5 Patta, n pari ≥ 6 → Patta ← AGGIORNATO
h=7: n disp → Nero, n pari ≥ 4 → Patta
h=9: n disp → Nero, n=4 → Patta

h=5 è l’unica altezza dispari dove 5×5 vince il Bianco, ma 7×5 converge già alla Patta

Convergenza alla Patta

Per tutte le altezze, all’aumentare di n il risultato converge alla Patta. L’ampiezza smorza il vantaggio posizionale: su scacchiere abbastanza larghe, né il primo né il secondo giocatore possono forzare una vittoria.

Scacchiere 2×h×1

Le scacchiere minime (2 colonne) alternano: h dispari → Bianco, h pari → Nero. Un risultato puramente strutturale legato al numero di mosse disponibili nella configurazione più stretta.

2×3: B | 2×4: N | 2×5: B | 2×6: N | 2×7: B | 2×8: N

Congetture Aperte

Risultati supportati da evidenza computazionale, in attesa di dimostrazione formale.

A
CONGETTURA FORTE

Vittoria Nero su n×3×1 dispari

Per ogni n dispari ≥ 3, la scacchiera n×3×1 è una vittoria forzata per il Nero.

Il Teorema della Prima Cattura dimostra che il Nero cattura e promuove a dama al primo turno, ottenendo 1 dama + vantaggio numerico. Questa superiorità strutturale è sufficiente per vincere in tutti i casi verificati.

Teorema Prima Cattura dimostratoVerificata n = 3, 5, 7, 9, 115/5 verificato

Cosa manca: dimostrare che il vantaggio della prima cattura (dama + superiorità numerica) è sempre sufficiente per vincere su scacchiere arbitrariamente grandi (n → ∞).

B
CONGETTURA FORTE + PROGRAMMA

Patta universale n×4×1 pari

Per ogni n pari ≥ 4, la scacchiera n×4×1 è una patta con gioco perfetto.

Esiste un programma costruttivo (400 righe Python, zero AI, zero minimax) che esegue una strategia meccanica basata su tre principi: sentinella (un pezzo a riga 1 blocca gli atterraggi delle catture), anti-collisione (evita di lasciare caselle vuote dove il Bianco atterra), e contro-imboscata (le dame nere contro-catturano gli imboscatori bianchi). Questo programma patta SEMPRE contro qualunque AI di qualunque potenza, su qualunque spazio combinatorio.

141 partite, 0 vittorie Biancon=4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 30Spazio combinatorio ∞Programma costruttivo disponibile

Punto chiave: un programma “stupido” che segue solo regole meccaniche (senza cercare nell’albero di gioco) è sufficiente per pattare. Questo suggerisce che la patta è un risultato strutturale, non accidentale.

C

Patta universale per n pari grande

Per ogni altezza h e file f=1, esiste un N(h) tale che per ogni n pari ≥ N(h), la scacchiera n×h×1 è una patta.

Verificata: N(3)=6, N(4)=4, N(5)=6, N(6)=6*, N(7)=4, N(8)=4*N(6): 8×6 da ri-verificare

Cosa manca: costruzione esplicita della strategia di pareggio per altezze generiche. Per h=4, la strategia costruttiva è già disponibile (Congettura B).

D

Alternanza 2×h×1

Per ogni h ≥ 3, la scacchiera 2×h×1 è vinta dal Bianco se h è dispari, dal Nero se h è pari.

Verificata per h = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (6/6)

Direzione: con solo 2 colonne e 1 casella scura per riga, il gioco si riduce a un automa finito la cui parità di mosse determina il vincitore. Dimostrabile per induzione sulla posizione.

E
AGGIORNATA con 7×5×1

h=5: convergenza rapida alla Patta

Per h=5, solo 5×5×1 è una vittoria del Bianco. Già 7×5×1 è Patta (361M stati), mostrando una convergenza alla patta molto più rapida rispetto a h=3 o h=7. Per h=3, 5, 7, 9 con n dispari ≥ 5, il Nero vince sempre tranne per h=5 dove il “punto dolce” di 3 righe vuote favorisce il Bianco solo brevemente.

h=3 (1 vuota): Nero per tutti n disp ≥ 3
h=5 (3 vuote): 5×5 Bianco, 7×5 Patta ← NUOVO!
h=7 (5 vuote): Nero per n=3,5
h=9 (7 vuote): Nero per n=3,5
h=3: 5 casi Neroh=5: 5×5 Biancoh=5: 7×5 Patta (NUOVO)h=7,9: Nero confermato

Visione spaziale: con 3 righe vuote (h=5) il Bianco ha un lieve vantaggio iniziale, ma già con 7 colonne lo spazio neutralizza il vantaggio e il gioco converge alla patta.

Metodologia

🔍

BFS Completo

Enumerazione di tutti gli stati raggiungibili dalla posizione iniziale. Nessuno stato trascurato.

⏪

Analisi Retrograda

Propagazione dei risultati dagli stati terminali verso la posizione iniziale. Algoritmo esatto.

🇮🇹

Regole FID Complete

Cattura obbligatoria, cattura massima, priorità dama, pedina non cattura dama, promozione con arresto.